Montrer que si \(\sigma=(ab)\) est une transposition, alors \(\epsilon(\sigma)=-1\)

On cherche tous les changements avec la transposition, disjonction des cas avec les emplacements de \(i\) par rapport à \(a\) ou \(b\)
On cherche les changements pour touts \(i,j\) tq \(1\leqslant i\lt j\leqslant n\)
1er cas : Si \(i\lt a\), alors : $$\sigma(i)=i\quad\text{ et }\quad\sigma(j)=\begin{cases} j\\ a\\ b\end{cases}\implies\sigma(j)\gt i=\sigma(i)$$
Il n'y a pas d'inversion
2e cas : Si \(i=a\), alors : $$\sigma(i)=b\quad\text{ et }\quad\sigma(j)=\begin{cases} j&\text{si}\quad j\neq b\\ a&\text{si}\quad j=b\end{cases}$$
Il y a donc une inversion si \(a=i\lt j\lt b\)
Ce cas amène donc \(b-a\) inversions
3e cas : \(a\lt i\lt b\), alors : $$\sigma(i)=i\quad\text{ et }\quad\sigma(j)=\begin{cases} j&\text{si}\quad j\neq b\\ a&\text{si}\quad j=b\end{cases}$$
Ce cas amène donc \(b-a-1\) inversions
4e cas : \(i=b,j\gt b\), alors : $$\sigma(i)=a\quad\text{ et }\quad\sigma(j)=j$$
Pas d'inversions
5e cas : \(i\gt b\), alors : $$\sigma(i)=i\quad\text{ et }\quad\sigma(j)=j$$

Compter le nombre total d'inversions (\(i\) et \(j\) changent d'ordre) et conclure avec sa parité

Au total, il y a \(b-a+b-a-1=2(b-a)-1\) inversions
C'est un nombre impair, donc $$\epsilon(\sigma)=-1$$

(Parité)

Soient \(a,b,c\in\{1,\ldots,n\}\)
Calculer le produit \((ab)(bc)(ab)\)

Disjonction des cas en fonction de \(x\)

Si \(x\notin\{a,b,c\}\), $$\begin{align} x\notin\{a,b,c\}&\implies(ab)(bc)(ab)(x)=(ab)(bc)(x)=(ab)(x)=x\\ x=a&\implies(ab)(bc)(ab)(a)=(ab)(bc)(b)=(ab)(c)=c\\ x=b&\implies (ab)(bc)(ab)(b)=(ab)(bc)(a)=(ab)(a)=b\\ x=c&\implies(ab)(bc)(ab)(c)=(ab)(bc)(c)=(ab)(b)=a\end{align}$$
Donc $$(ab)(bc)(ab)(x)\equiv(ac)(x)$$

(Composition)

Montrer que le groupe \(\mathcal S_n\) est engendré par les permutations \(\{(1,i)\}_{2\leqslant i\leqslant n}\)
(i.e. Montrer que toute permutation s'écrit comme un produit de transpositions de cette forme)

On sait que \(\mathcal S_n\) est engendré par des transpositions \((i,j)\)

Montrer que \((1j)=(1i)(ij)(1i)\) par disjonction des cas
Soient \((i,j)\) tq \(i\lt j\)
Montrons que \((1j)=(1i)(ij)(1i)\) : $$\begin{align} x\notin\{1,i,j\}&\implies(1i)(ij)(1i)(x)=(1i)(ij)(x)=(1i)(x)=x\\ x=1&\implies(1i)(ij)(1i)(1)=(1i)(ij)(i)=(1i)(j)=j\\ x=i&\implies (1i)(ij)(1i)(i)=(1i)(ij)(1)=(1i)(1)=i\\ x=j&\implies(1i)(ij)(1i)(j)=(1i)(ij)(j)=(1i)(i)=1\end{align}$$

Développer \((1j)\) dans \((1i)(1j)(1i)\) et conclure

Donc $$(1i)(1j)(1i)=\underbrace{(1i)^2}_I(ij)\underbrace{(1i)^2}_I=(ij)$$
Donc chaque transposition peut s'écrire comme un produit de transpositions de type \(^"(1a)^"\)
Donc \(\mathcal S_n\) est bien engendré par des transpositions de type \(^"(1a)^"\)

(Cycle - Permutation cyclique, Puissance d'un cycle)